AP微积分系列5：积分到底是什么

我是环球U+的数学老师Max，今天我们来聊聊：积分（Integral）到底是什么？同学们到这了一块就开始懵了：到底它是图像下面的面积？还是导数的反操作？还是一个累加的概念？其实答案是：它都是。

第一种理解：积分是图像下面的面积（area under the curve）

比如这个表达式：

它就表示从 x=a 到 x=b，这段函数图像下的面积是多少。


所以你可以把积分想成是在“量area”，正的面积加进去，负的面积扣掉。

第二种理解：积分是导数的反操作（antiderivative）

比如你知道：

那反过来，积分 2x，就会得到 x²（再加一个常数 C）。

这个就是：

也就是说，导数是拆结构，积分是拼回去。

第三种理解：积分是累积变化（accumulated change）

积分其实在帮你把“很多很多很小的量”加起来。比如：

指的是从x=a到x=b 这段，我们f(x)到底变化了多少量？

那么这个部分在应用题的延伸非常多，像速度的积分是路程的变化、变化率的积分是量的变化等等，也能用积分来算。

所以你记得这一句就够了：

Derivative tells you how fast something is changing

Integral tells you how much it has changed in total

下一集我们讲讲积分题里最容易犯的3个错误，很多同学都中招过！

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