AP微积分系列2：导数的三重含义

导数的三重含义：速度？斜率？还是变化？我是环球U+的数学老师Max，今天是AP微积分系列的第二集，我们来讲讲：导数（Derivative）到底是什么意思？为什么有些人说它是速度，有些人说它是斜率，还有人说它代表变化？

其实都对！导数有三个经典解释，你理解得越通透，用得越顺：

① 斜率（Slope）

最基础的定义：导数 = 切线的斜率

如果你把函数图像画出来，那导数就是某一点上那条“贴着曲线的直线”的斜率。

所以：

f '(x) 就是 f(x) 在 x 点的 “瞬时倾斜程度”

② 变化率（Rate of Change）

在实际应用中，导数最常见的意义是“变化速度”：

比如：s(t) 是物体的position

那 s '(t) 就是它的速度

又比如：C(x) 是cost，那 C '(x) 是每多生产一个多一个unit，

成本的增加速度（也就是marginal cost 边际成本）

③ 局部敏感度（Sensitivity）

导数还能告诉你：

函数在某一点对于“change of input的反应有多快”


这在物理、金融、经济建模中非常关键。

好的我们总结一下：

导数就是函数的“反应速度”
 看它的图像是斜率；用在现实中是速度或增长率；在建模里，是变化趋势的重要解读工具。

下一集我们就来讲讲最常用的五个基本求导法则！


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